यदि सदिश $4i+11j+mk$,$7i+2j+6k$ और $i+5j+4k$ समतलीय हैं,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a=\hat{i}+\hat{j}$, $b=\hat{j}+\hat{k}$ और $c=\hat{i}+\hat{k}$ है। यदि $d$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $a \cdot d=0$ और $b \cdot(c \times d)=0$ है, तो $d=$

यदि $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $p, q, r$ को $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}, q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}, r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$ संबंधों द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $(a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r =$

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{r}$ एक स्वेच्छ सदिश है,तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{r} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{r} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \times (\vec{r} \times \vec{b}) = \dots$

यदि $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,और $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$ है,तो एक इकाई सदिश $\bar{d}$ ज्ञात कीजिए ताकि $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$ और $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$ हो।

यदि सदिश $a\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}$ समतलीय हैं $(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1)$,तो $abc-(a+b+c)$ का मान है: